#创作计划# 用通俗的语言讲懂微积分

名字怎么这么长

2025-10-19 16:44:53

发布于：甘肃

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在这里写一些防透视的文字，这是一篇很长的文章，但还是希望你能进来读读鄙人的拙作！谢谢！！
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@AC君可以给我加精吗？求求了 QAQ

一、写在前面的

1. 叠甲

本文章作者资历不深，在写作时遇到了很多困难，是通过查资料的方式勉强学会，定会有许多错误，还请各位dalao多多指教、多多包含，谢谢！！

2. 宣传团队

作为宣传队员，我宣传一下滚蛋吧c++团队（这个团队真的非常BEST，学习氛围好，各位管理员非常负责，强烈建议加入！！Tips：这个没加翻转，要不太难编辑了）
而这，是我的团队（刚建不久）（申请必过）
谢谢！！

3. 鸣谢

感谢Desmos为这篇文章提供技术支持！

你们知道吗， $\LaTeX$ 真的太好用了！！！

4. 故事的开端

好吧，为了我的粉丝量，我肝了一篇微积分出来。

5. 特别的，浅色模式下效果更佳。

二、引入部分

先来给大家带来一个超级简单的题（保证上过二年级的都会做）

如图， $AB=BC=AF=2，BE=2.5，CD=4.$ ，求 ${\triangle DEF}$ 的面积。
这题是真的简单，只用最简单的梯形面积公式就可以了。（在此不过多赘述）
答案是： $S_{\triangle DEF} = 1$ ；
如果你解出来了这题，那么恭喜你！因为下面的知识对你来说（可能）不会很难了。

三、初始微积分：极限（ $limits$ ）

好吧，可是上面的题与微积分有什么关系呢？

那我们不妨再来一道题。

接下来到文章结束，难度仍然是小学二年级。（毕导的小学二年级）

如图，求用蓝色区域的面积。(注：红色曲线是 $y=x^2$ )

好吧，这有点超纲，看似蓝色区域是一个梯形，但，实际上有一条“边”是一个曲线，那我们便不能直接求出他的面积，只能算尽可能接近他的面积的答案。

于是呼，我们做一下尝试

将 $A(1,1)$ 和 $B(2,4)$ 用一条紫色直线连接。

此时，我们就得到了一个近似等于蓝色区域的梯形，算算看，这个梯形的面积是多少？

（在此，我们用 $S$ 表示蓝色区域的面积， $S_1$ 表示这个蓝色区域被分成 $1$ 份时的近似面积，用 $S_2$ 表示这个蓝色区域被分成 $2$ 份时的近似面积，依次类推）

$S_1 = 1 \times \frac{1+4}{2} = 2.5$

计算得出，这个面积是 $2.5$ 。

接着我们做第二次尝试：

这一次，我们在中间取了一点 $D$ 并连接 $AD$ ,和 $DB$ （黑色虚线），这样整个面积被分为了2个梯形，并且，这两个梯形的面积之和比上一个大梯形的面积更接近这个蓝色区域的实际面积。简单计算一下，面积是多少？

$S_2 = \frac{1}{2} \times [ \frac{1+(\frac{2}{3})^2}{2} + \frac{(\frac{2}{3})^2+1}{2} ] = 2.375$

答案是 $2.375$ 。

可以看出，不管是从图像上还是从计算结果来看， $S_2$ 都要比 $S_1$ 更精确。

之后，我们把这个蓝色区域再平均分割成 $3$ 段和 $4$ 段（此处省略作图和讲解的过程，太复杂了！），结果如下：

$S_3 = \frac{1}{3} \times [ \frac{1+(\frac{4}{3})^2}{2} + \frac{(\frac{4}{3})^2+(\frac{5}{3})^2}{2} + \frac{(\frac{5}{3})^2+4}{2} ] = 2.3518$

以及

$S_4 = \frac{1}{4} \times [ \frac{1+(\frac{5}{4})^2}{2} + \frac{(\frac{5}{4})^2+(\frac{6}{4})^2}{2} + \frac{(\frac{6}{4})^2+(\frac{7}{4})^2}{2} + \frac{(\frac{7}{4})^2+4}{2} ] = 2.34375$

由上面轻松简单的计算可以得出，把蓝色区域的面积分的越多，就越接近真实数据（当然，这句话我说了好多遍，除了凑字数，我还想强调并让你记住这件事）

接下来，我们就要告别这些轻松简单的计算了，现在，我们要找到以上那些~~乱七八糟~~的式子的通式，以发现他们的规律。

也就是，我们要找到 $S_n$ 的式子的简化版本

$即 S_n = \frac{1}{3} \times [ \frac{1+(1+\frac{1}{n})^2}{2} + \frac{(1+\frac{1}{n})^2+(1+\frac{2}{n})^2}{2} + … + \frac{(1+\frac{n-1}{n})^2+4}{2} ]$

根据一些观察，我们可知

$上式 =\frac{1}{n} \times [ \frac{n^2 \cdot n + 2n\textcolor{red}{(1+2+…+n)}+\textcolor{blue}{(1^2+2^2+…+n^2)}}{n^2} - \frac{3}{2}]$

接着，化简并变形 $\textcolor{red}{红色}$ 和 $\textcolor{blue}{蓝色}$ 部分的式子

$上式 =\frac{1}{n} \times [ n+\frac{2}{n} \times \textcolor{red}{\frac{n(n+1)}{2}}+ \frac{1}{n^2} \times \textcolor{blue}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} - \frac{3}{2}]$

然后，继续化简，可以得出通项公式，如下：

$得 S_n = \frac{7}{3} + \frac{1}{6n^2}$

观察这个通项公式，不难看出，只要 $n$ 取得越大，则 $\frac{1}{6n^2}$ 就会越小，那整个式子的结果则越不会受到 $n$ 大小的影响，同时又越接近真实值（还记得吗？是那个蓝色区域）。则这个式子，或者是这个蓝色区域的面积的近似值就可以忽略这一项。（同时， $n \ne \infty$ ， $\frac{7}{3} + \frac{1}{6n^2} \ne \frac{7}{3}$ ）

终于，我们找出了答案： $S= \frac{7}{3}$ 。

可是，我们又该怎样简单快捷的用数学语言来表示这个答案和我们上面那些~~简单轻松~~的计算过程呢？

我们的数学家牛顿想出了一个办法。

他使用了一种符号来表示当一个式子参数无限趋向于一个数时，整个式子所无限趋向的数。

那么如上这一段，即：

当 $n$ 无限趋近于无穷大时，关于 $n$ 的式子 $\frac{7}{3}+\frac{1}{6n^2}$ 就会无限趋近于 $\frac{7}{3}$ 同时， $n \ne \infty$ ， $\frac{7}{3} + \frac{1}{6n^2} \ne \frac{7}{3}$

用牛顿的的方法，就是（这里是用 $A$ 表示面积）：

$A = \lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{7}{3} + \frac{1}{6n^2}) = \frac{7}{3}$

其中, $\lim$ 是单词 $limits$ （极限）的前三个字母，而在 $\lim$ 下面的 $n \rightarrow \infty$ 则是指： $n$ 无限趋近于无穷大。

这样就很巧妙的将一段文字表示了数学语言。

同时，牛顿定义微积分是：微积分就是含有极限运算的混合计算。~~（好奇怪）~~

不管你信不信，我随便列几个带有极限的式子，他都是微积分：

$1 + \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=1$

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{6} \times (1 + \frac{1}{n}) \times (2+\frac{1}{n}) = \frac{1}{3}$

所以这里总结一下：微积分的本质是极限 ( $limits$ )，没有极限，微积分的几乎任何其他定理就不成立。

四、微积分之计算曲线的某个点的切线（微分）

1. 关于速度的补充

速度，这个名词，你肯定不陌生，小学数学课、初中物理课，你一定都接触了速度这一概念。并且在学速度的时候，你一定知道了这样一个公式（这是初中的公式）：

$v = \frac{s}{t}$

当然这个公式不能计算所有的速度，它只能在知道路程（位移） $s$ ，和时间 $t$ 之后计算一个运动物体的平均速度，当它遇到诸如：匀加速运动、抛物线，他的计算就不准了。

而在这里，我们要计算的，就是一条曲线上的一个点代表的瞬时速度。

在这里，我们需要学习先导数的知识，这是学习这个内容的绝对前提。

2. 导数、求导、切线、割线的基础知识

导数在在百度百科的词条里是这么写的：

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作 f’(x0) 或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f，x→f’(x)也是一个函数，称作f的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。
微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

什么不定积分，什么 $y=f(x)$ ，之类，太难了，我们用通俗的想法讲懂。

我们随便画一个函数曲线（以二次函数 $y=x^2$ 为例）：

我们假设它是某个物体的变化率，简单说成，这里有个神奇的物体，它的速度就可以用 $y=x^2$ 表示（其中 $x$ 轴为时间， $y$ 轴为路程），我们在此只研究第一象限（要不然太奇怪了……）的变化率。

当然在这里，这个曲线可以用一个函数（对，你甚至可以理解为编程上的那个自定义函数）来表示，即 $f(x)=x^2$ ，当然我们要求的，就是这个函数的瞬时变化率（可以理解为上文所说的一个物体的瞬时速度）

我们如果想要求一个这个曲线第一象限的一个点的瞬时速度，这个过程就叫求导。

假如，我们要求这条曲线在 $(1,1)$ 点上的变化率，那么我们就是对曲线上 $(1,1)$ 点求导，而这个点所代表的 $f(x)$ （在这里是 $f(1)$ ）就是大名鼎鼎的导数！！！！

那什么是切线呢？

仍然先看切线在百度百科上的词条：

几何上，切线指的是一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。更准确地说，当切线经过曲线上的某点（即切点）时，切线的方向与曲线上该点的方向是相同的。平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。

这倒是很简单，就是一条与曲线只有一个交点（相切）的一条直线，不过，你在这里只需要知道，一个函数曲线的切线的斜率（在通用的一次函数公式 $y=kx+a$ 中 $k$ 就是斜率）就是这个点的瞬时变化率，也就是说，我们就把这个抽象的问题具象化了一点点。

3. 正题（尾杀）开始！！

说了这么多，终于开始了激动人心的计算环节（跟进我的节奏）。

我们的标题是

计算曲线的某个点的切线（微分）

说白了，就是求导，具体说成：我们找到一个函数曲线上的任意一段平均变化率，然后将距离缩小，让 $2$ 个点逐渐接近，让它无限接近，无限趋近于一瞬间，这样就可以计算一个瞬间的变化率。

同时，这 $2$ 个点绝对不可以变成一个点：从几何层面，一个点无法确定一条直线，从速度的相关定义上，当时间 $t=0$ 时， $v = \frac{s}{t}$ 绝对等于 $0$ ，也就不存在速度和变化率了（根据著名的飞矢不动悖论）。

我们来举个例子：

这，是我画的一条简单的二次曲线（红色实线）： $y=x^2$ 当然，按照上面所说，应该是 $f(x) = x^2$ 。

我在这上面取了 $2$ 点， $A$ 和 $B$ （甭管图片上面的坐标）。

在这里，我们要求的，就是 $A$ 点的瞬时变化率，即，对 $A$ 点求导。

为了方便，我们把 $A$ 点所在的切线先画出来，如下：

这个绿色的实线，就是 $A$ 点所在的切线，这条切线的函数是： $x-1=\frac{y-1}{2}$ ，当然这都不是重点。

现在，我们用一条直线来连接 $A$ 点和 $B$ 点，这就是它们的割线。

我们用一条蓝色虚线表示。

接下来，我们计算一下这一段的平均速度。

我们用 $\Delta x$ 表示它们在 $x$ 轴上的垂直距离，在这里就是 $1$ ，用 $\Delta y$ 表示它们在 $y$ 轴上的垂直距离，在这里就是 $3$ ，它们的速度用 $v(x)$ 表示（因为其中 $x$ 轴为时间， $y$ 轴为路程）。

接着，我们就可以得到以下公式。

$v(x)=\frac{\Delta x}{\Delta y} \tag{1}$

之后，我们用 $dx$ 表示 $x$ 轴的偏移量（讲人话，因为 $x$ 轴为时间， $dx$ 就是这个平均速度的时间跨度）。我们不难得出（用开头减去结尾得到距离）：

$\Delta x = (dx+x)-x=dx \tag{2}$

而 $\Delta y$ ，因为 $y=f(x)$ ，再套用上面的计算方式，得：

$\Delta y = f(x+dx) - dx \tag{3}$

把 $(2)式$ 和 $(3)式$ 带入 $(1)式$ ，我们接着就将 $v(x)$ 改写为了：

$v(x)=\frac{f(x+dx) - f(x)}{dx}$

同时，我们又知道： $f(x) = x^2$ ，于是我们带入上式：

$v(x)=\frac{(x+dx)^2 - x^2}{dx}$

然后我们根据一些（我也说不清用了多少）公式，简单简化一下，我们最终得到：

$v(x)=2x+dx$

接着，是最关键的一步：上面的式子里的 $v(x)$ 代表的是 $x$ 在 $dx$ 的范围内的平均速度，现在，我们就要让它变成瞬时速度，还记得我们刚刚的话吗？

说白了，就是求导，具体说成：我们找到一个函数曲线上的任意一段平均变化率，然后将距离缩小，让 $2$ 个点逐渐接近，让它无限接近，无限趋近于一瞬间，这样就可以计算一个瞬间的变化率。

在这里插播一嘴，还记得那条蓝色的割线吗？在这里，我们不仅距离缩小，同时还将这条割线无限趋近于切线（绿色实线）
以此得到它的斜率。

同时，这 $2$ 个点绝对不可以变成一个点：从几何层面，一个点无法确定一条直线，从速度的相关定义上，当时间 $t=0$ 时， $v = \frac{s}{t}$ 绝对等于 $0$ ，也就不存在速度和变化率了（根据著名的飞矢不动悖论）。

没错，我们要加入极限了！（忘了什么是极限的话可以倒回去看）因为这个上面的这个式子里的 $dx$ 代表 $x$ 轴的偏移量，所以只要把它消掉，就可以让 $v(x)$ 变为瞬时速度，于是，我们：

当 $dx$ 无限趋近于 $0$ 时：

$即： \lim_{dx \rightarrow 0} v(x)=2x+dx$

很明显可以得到：

$\lim_{dx \rightarrow 0} v(x)=2x+dx=2x$

简写一下：

$v(x)=2x$

而这个，就是函数曲线 $f(x)=x^2$ 上任意一点 $f(x)$ 的变化率，当然，也就是切线在任意一点 $f(x)$ 的斜率 $k$ 。
接下来，我们带入一个 $f(x)$ ，试试看：

$当 f(x) = 1 时$

$v(x) = 2x = 2 \times 1= 2$

终于，我们找到了导数！！！！！！！！！

在此，完结撒花！

写作日志放在最后：

2025.8.5 开始编写

2025.8.10 一、二章完成

2025.8.13 第三章第一版完成

2025.8.16 第三章第二版修改完成

2025.8.23 第三章完成

2025.8.25 4-1，4-2完成

2025.10.7 完结撒花！！！！

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全部评论 9

zsy

保证上过二年级的都会做

毕导的《小学二年级》

1周前来自江苏
0
咕咕咕
另说

$v(x) = \frac{(x + dx)^2 - x^2}{dx}$

并不能直接用平方和来简化
因为 $\frac{(x + dx)^2 - x^2}{dx}$ 会化简为 $2x + dx$

1周前来自江西
0
- 名字怎么这么长
  回复咕咕咕
  谢谢提醒，这就改过来！
  
  3天前来自甘肃
  0
🥥
质量不错

1周前来自上海
0
🥥
d

1周前来自上海
0
🥥
d

1周前来自上海
0
Rainy
AB=AC=AF=2?不是AB=BC吗

1周前来自浙江
0
- 名字怎么这么长
  回复Rainy
  谢谢提醒，这就改过来
  
  1周前来自甘肃
  0
Rainy
顶

1周前来自浙江
0
Moon_Seeker
bro现在将数学不给精华的，除非你有代码

1周前来自浙江
0
- 名字怎么这么长
  回复Moon_Seeker
  谢谢提醒，我这就加一下代码
  
  1周前来自甘肃
  1
名字怎么这么长
顶一下巴，求求了……

1周前来自甘肃
0